Кафедра математики СУНЦ МГУ Специализированный учебно-научный центр
Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова -
Школа им.А.Н.Колмогорова

Москва, ул.Кременчугская, д.11, (495) 445-46-34    

март 2009 года

01.03.2009, Вавилов В.В.

263. На круговой автотрассе находится n автомобилей. По сигналу все они одновременно с равными скоростями начинают двигаться по трассе каждый в своем направлении. Если два автомобиля встречаются, то они мгновенно разворачиваются и начинают двигаться с теми же скоростями в противоположных направлениях. Доказать, что в некоторый момент времени все автомобили займут первоначальное положение.

264. Построить пример последовательности {xn} действительных чисел такой, что для любой возрастающей и ограниченной последовательности действительных чисел {yn} найдется номер n, для которого |xn-yn| ≤ 1/n.

265. Известно, что

(cos x+cos y+cos z)/cos(x+y+z)=(sin x+sin y+sin z)/sin(x+y+z)=a.

Доказать, что

cos(x+y) + cos(y+z) +cos(z+x) = a.

266. Покажите, что любые две точки, лежащие внутри правильного n-угольника М могут быть соединены двумя дугами окружностей, лежащими внутри М и образующими в точках пересечения угол не менее (1-2/n)π.

267. Последовательность {an} натуральных чисел такова, что a1=1, an+1=n+1-aan. Найти а2009.