Кафедра математики СУНЦ МГУ Специализированный учебно-научный центр
Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова -
Школа им.А.Н.Колмогорова

Москва, ул.Кременчугская, д.11, (495) 445-46-34    

февраль 2009 года

01.02.2009, Вавилов В.В.

258. Доказать, что для любого натурального n существует многочлен Р степени n с целыми коэффициентами и такой, что для любого многочлена Q с целыми коэффициентами, степень которого меньше n, многочлен PQ+1 нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами P1 и Q1, если только P1≠0 и Q1≠1, Q1≠-1.

259. На плоскости отмечено конечное множество точек, окрашенных в красный или синий цвет. Никакие четыре точки этого множества не лежат на одной прямой. Точек каждого цвета четное число. Доказать, что существует прямая, не проходящая через точки этого множества, и такая, что в полуплоскостях, определяемых этой прямой, точек каждого цвета равное число.

260. Последовательность целых чисел {an} такова, что

a0=0, a1=1, an+2=2an-1+an (n≥2).

Доказать, что для любых натуральных k и n число 2k делит an тогда и только тогда, когда число 2k делит n.

261. шесть окружностей ω1, ..., ω6, расположенных внутри окружности ω, касаются ее в точках А1, ..., А6 соответственно. Кроме того, окружности ω1 и ω2, ω2 и ω3, ..., ω6 и ω1 касаются друг друга внешним образом. Доказать, что

А1А2∙А3А4∙А5А62А3∙А4А5∙А6А1.

262. Пусть F конечное множество дифференцируемых функций, заданных на всей числовой оси, содержащее больше двух элементов и обладает следующим свойством: если f,g принадлежат F, то и f(g) принадлежит F. Доказать, что среди функций из F существует функция, являющаяся тождественно постоянной.