Кафедра математики СУНЦ МГУ Специализированный учебно-научный центр
Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова -
Школа им.А.Н.Колмогорова

Москва, ул.Кременчугская, д.11, (495) 445-46-34    

сентябрь 2008 года

01.09.2008, Вавилов В.В.

233. Для каких значений n в клетках таблицы n × n можно расставить числа -1,0,1 так, чтобы все 2n сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны?

234. Доказать, что для действительных чисел t1 , t2, ... , tn таких, что 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn < 1 имеет место неравенство

(1-tn)2 ( t1/(1-t12)2 + t22/(1-t23)2 + ... + tnn/(1-tnn+1)2 ) < 1.

235. В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD равны. Доказать, что

CD2 = S ctg(C/2),

где S – площадь треугольника АВС.

236. Многочлен р(x) = xn + a1xn-1 + ... + an имеет n действительных корней, отличных от нуля, n ≥ 3. Известно, что an-2=0, an-1/an>n+1. Доказать, что по крайней мере один нуль многочлена р(х) принадлежит интервалу (-1/2,0).

237. Доказать, что если при некотором преобразовании инверсии эллипс переходит в эллипс, то оба этих эллипса являются окружностями.