Кафедра математики СУНЦ МГУ Специализированный учебно-научный центр
Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова -
Школа им.А.Н.Колмогорова

Москва, ул.Кременчугская, д.11, (495) 445-46-34    

апрель 2009 года

01.04.2009, Вавилов В.В.

268. Пусть р(х)=(х-а1)(х-а2)...(х-аn)-2, где n≥3, a1, a2, ..., an - различные целые числа. Доказать, что если р(х) = g(x)h(x), где g(x) и h(x) многочлены с целыми коэффициентами, отличными от 1, то n = 3.

269. В выпуклом многоугольнике А1А2...Ак на сторонах А1А2, А2А3,...,АкА1 отмечены точки В1, В2, ..., Вк. Известно, что в многоугольники А1А2...Ак и В1, В2, ..., Вк можно вписать окружности радиусов R и r соответственно, и что радиусы окружностей, вписанных в треугольники В1А2В2, В2А3В3, ..., ВкА1В1 равны d. Доказать, что R= r + d.

270. Доказать, что последовательность {an} с общим членом an=[21/2n] содержит бесконечно много квадратов натуральных чисел.

271. На замкнутую нить нанизаны 23 бусинки, окрашенные в несколько цветов. Два участка расположенных рядом бусинок считаются одинаковыми, если они содержат одинаковое число бусинок и порядок следования цветов в направлении часовой стрелки одинаков. Доказать, что нить можно разрезать так, что любые два участка, примыкающие к разрезу с разных сторон, будут различны.

272. Найти все непрерывные вещественные функции, определенные на всей числовой прямой и такие, что

f((x+y)/(x-y))=(f(x)+f(y))/(f(x)-f(y)).